Question

7．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+12=0．
（1）若a，b是一枚正方形的骰子（骰子六個面上分別標(biāo)以數(shù)字1，2，3，4，5，6）擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）本題是一個古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個滿足條件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+12=0有兩正根，根據(jù)實根分布得到關(guān)系式，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²≥12}，做出兩者的面積，得到概率．

解答 解：（1）記“方程有兩個正根”為事件A，基本事件（a，b）共有36個…（2分）
方程有正根等價于$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{12-^{2}＞0}\\{（a-2）^{2}+^{2}≥12}\end{array}\right.$，
則事件A包含的基本事件為（4，3）、（5，2）、（5，3）、（6，1）、（6，2）、（6，3）共6個…（4分）
P（A）=$\frac{6}{36}$=$\frac{1}{6}$…（6分）
故所求的概率為$\frac{1}{6}$…（7分）
（2）記“方程無實根”為事件B，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面積為S（Ω）=16
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²≥12}，
其面積為S（B）=16-3π…（11分）
P（B）=1-$\frac{3π}{16}$…（13分）
故所求的概率為1-$\frac{3π}{16}$…（14分）

點評 本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題目．