Question

4．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）都有f（x+$\frac{5}{2}$）+f（x）=0，當(dāng)-$\frac{5}{4}$≤x≤0時，f（x）=2^x+a，則f（16）的值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以得出f（x）是以5為周期的周期函數(shù)，從而有f（16）=f（1），而根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得到f（0）=0，從而求出a=-1，這樣即可求出f（-1），進(jìn)而求出f（1），從而得出f（16）的值．

解答 解：由$f（x+\frac{5}{2}）+f（x）=0$得，$f（x）=-f（x+\frac{5}{2}）=f（x+5）$；
∴f（x）是以5為周期的周期函數(shù)；
∴f（16）=f（1+3•5）=f（1）；
f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=1+a=0；
∴a=-1；
∴$-\frac{5}{4}≤x≤0$時，f（x）=2^x-1；
∴$f（-1）={2}^{-1}-1=-\frac{1}{2}$；
∴$f（1）=\frac{1}{2}$；
∴$f（16）=\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 考查周期函數(shù)的定義，奇函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)在原點有定義時，函數(shù)值為0，已知函數(shù)求值．