Question

8．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，設(shè)a＞1，則$\frac{4af（a+1）}{a+1}$，2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$），（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）的大小關(guān)系為$\frac{4af（a+1）}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）＜（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）．

Answer 1

分析 由不等式，知構(gòu)造新函數(shù)，求解新函數(shù)的增加性及奇偶性，將所比較的數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的數(shù)值，由此來比較大�。�

解答 解：∵當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＞$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
∴xf′（x）＜f（x），
令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
∵f（-x）=f（x），
∴g（-x）=-g（x），
∴g（x）為奇函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∵比較$\frac{4af（a+1）}{a+1}$，2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$），（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）的大小，
∴$\frac{4af（a+1）}{a+1}$=4ag（a+1），
2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）=4ag（2$\sqrt{a}$），
（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）=4ag（$\frac{4a}{a+1}$），
∵a＞1，
∴a+1-2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$-1）²＞0，
∴a+1＞2$\sqrt{a}$，a+1＞$\frac{4a}{a+1}$，且$\frac{4a}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$，
∴a+1＞2$\sqrt{a}$＞$\frac{4a}{a+1}$，
∴g（a+1）＜g（2$\sqrt{a}$）＜g（$\frac{4a}{a+1}$），
∴4ag（a+1）＜4ag（2$\sqrt{a}$）＜4ag（$\frac{4a}{a+1}$），
故答案為：$\frac{4af（a+1）}{a+1}$＜2$\sqrt{a}$f（2$\sqrt{a}$）＜（a+1）f（$\frac{4a}{a+1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新函數(shù)的構(gòu)造，只需確定出新函數(shù)即可研究其性質(zhì)．