Question

5．如圖所示：一個(gè)邊長為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形的邊上再連接正方形，…，如此繼續(xù)．若共得到255個(gè)正方形，則最小正方形的邊長為$\frac{1}{16}$．

Answer 1

分析 依次得到正方形的邊長和正方形個(gè)數(shù)均成等比數(shù)列，公比分別為$\frac{\sqrt{2}}{2}$和2，利用數(shù)列的知識(shí)解出．

解答 解：第一次得到的正方形的邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，共有1個(gè)，
第二次得到的正方形邊長為$\frac{1}{2}$，共有2個(gè)，
第三次得到的正方形邊長為$\frac{\sqrt{2}}{4}$，共有4個(gè)，
第四次得到的正方形邊長為$\frac{1}{4}$，共有8個(gè)，
…
由此可歸納得：
依次得到正方形的邊長成對(duì)比數(shù)列，公比為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，依次得到正方形的個(gè)數(shù)成對(duì)比數(shù)列，公比為2．
設(shè)第n次得到的正方形邊長為a_n，第n次得到的正方形個(gè)數(shù)為b_n．則a_n=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ，b_n=2^n-1．
令前n次得到正方形的個(gè)數(shù)為S_n，則S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1．
令S_n=2ⁿ-1=255，則n=8．∴a₈=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）⁸=$\frac{1}{16}$．
故答案為$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．