Question

3．如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點(diǎn)，AB=EF=1，CA=CB=2，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+
$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，則$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角的余弦值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得 ${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=4，由此求得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，以及兩個(gè)向量的加減法的法則及其幾何意義可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1，即可求得$\overrightarrow{EF}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角的余弦值．

解答 解：由題意可得${\overrightarrow{BC}}^{2}=（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=4，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AF}$=2，以及兩個(gè)向量的加減法的法則及其幾何意義可求得$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1，
可得 $\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}）$+$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}）$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=1+$\overrightarrow{AB}•（-\overrightarrow{BF}）$$+\frac{1}{2}$$+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BF}$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{3}{2}+\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=2，
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{BC}$=1即 1×2×cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{BC}$＞=1，
∴cos＜$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義、同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．