Question

8．正方形AC₁中，點(diǎn)P是DD₁中點(diǎn)，點(diǎn)O是底面中心，求證：B₁O⊥平面PAC．

Answer 1

分析 首先在矩形BB₁D₁D中，利用直角三角形的正切定義得到∠POD=∠BB₁O，從而證出PO⊥B₁O，然后利用直線AC與平面BB₁D₁D證出AC⊥B₁O，最后用直線與平面垂直的判定定理，可得到B₁O⊥平面PAC．

解答 證明：設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，連接B₁D₁，連接PO，在矩形BB₁D₁D中，BD=$\sqrt{2}$，OD=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△PDO中，PD=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠POD=$\frac{PD}{OD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$同理，Rt△BOB₁中，tan∠BB₁O=$\frac{OB}{B{B}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴銳角∠POD=∠BB₁O=90°-∠B₁OB⇒∠POD+∠B₁OB=90°，
∴∠POB₁=90°⇒PO⊥B₁O，
∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB₁，
∵AC⊥BD，BD∩BB₁=B，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，結(jié)合B₁O?平面BB₁D₁D，
∴AC⊥B₁O，
∵PO∩AC=O，
∴B₁O⊥平面ACP．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，推理論證能力和轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．