Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)為線段BC₁的中點(diǎn)，E為線段A₁C₁上的動點(diǎn)，則下列命題中正確的序號有

 

①存在點(diǎn)E使EF∥BD₁；
②存在點(diǎn)E使EF⊥平面AB₁C₁；
③存在點(diǎn)E使EF與AD₁所成的角等于90°；
④三棱錐B₁-ACE的體積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：對于命題①，設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)E，取C₁D₁的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，由三角形中位線的性質(zhì)，推出矛盾，即可作出判斷；
對于命題②，在平面AB₁C₁內(nèi)找兩條相交直線分別垂直于EF即可；
對于命題③，將AD₁平移至BC₁，只需BC₁⊥EF，易知BC₁⊥平面A₁B₁CD，則只需EF?平面A₁B₁CD，從而可探求點(diǎn)E的存在性；
對于命題④，可考慮三棱錐B₁-ACE的底面積與高是否變化，或列出體積的表達(dá)式，即可知體積是否為定值．

解答： 解：對于命題①，取C₁D₁的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，如圖1所示．
∵F為BC₁中點(diǎn)，則FG∥BD₁．
設(shè)存在點(diǎn)E，使EF∥BD₁，于是過點(diǎn)F有兩條直線與BD₁平行，
∴假設(shè)不成立，即不存在點(diǎn)E，使EF∥BD₁，故①為假命題．
對于命題②，若E為A₁C₁的中點(diǎn)，連結(jié)A₁B，則EF∥A₁B．如圖2所示．
∵AB₁⊥A₁B，∴EF⊥AB₁，
又∵C₁B₁⊥平面A₁B₁BA，AB₁?平面A₁B₁BA，∴C₁B₁⊥A₁B，
∴C₁B₁⊥EF，又AB₁∩C₁B₁=B₁，
∴EF⊥AB₁C₁，故②為真命題．
對于命題③，當(dāng)E與A₁重合時，連結(jié)CE，CB₁，A₁C，則BC₁⊥CB₁．如圖3所示．
又EB₁⊥平面B₁C₁CB，B₁C?平面B₁C₁CB，∴EB₁⊥BC₁，
∵EB₁∩B₁C=B₁，∴BC₁⊥平面EB₁C，
∵EF?平面EB₁C，∴BC₁⊥EF，
又∵AD₁∥BC₁，∴AD₁⊥EF，
即存在點(diǎn)E，使EF與AD₁所成的角等于90°．
對于命題④，設(shè)AB=a，則S△ACE=

1

2

AC×A1A=

1

2

×

2

a×a=

2

2

a2．
∵三棱錐B₁-ACE的高即為點(diǎn)B₁到平面A₁C₁CA的距離d，為

2

2

a，
∴VB1-ACE=

1

3

S△ACE•d=

1

3

×

2

2

a2×

2

2

a=

1

6

a3，
即三棱錐B₁-ACE的體積為定值，故④為真命題．
綜上知，命題中正確的序號有②③④，故答案為②③④．

點(diǎn)評：1．對于點(diǎn)的存在性問題，一般先假設(shè)點(diǎn)存在，以此為條件，結(jié)合題干，進(jìn)行推導(dǎo)，若能找到此點(diǎn)，則假設(shè)成立，即存在符合題意的點(diǎn)；若得出矛盾，則不存在符合題意的點(diǎn)．
2．對于命題③，也可以由等腰（或等邊）三角形A₁BC₁底邊BC₁上的中線EF與高線二線合一知，BC₁⊥EF，從而AD₁⊥EF．
3．處理體積是否為定值問題時，一般思路是：列出體積的表達(dá)式，再由表達(dá)式探究其是否為定值．