Question

若OA，OB，OC是空間不共面的線(xiàn)段，且滿(mǎn)足OA=OB=OC=1，二面角B-OA-C，C-OB-A，A-OC-B的大小分別為α，β，γ，以O(shè)為球心，半徑為r作球面；給出以下結(jié)論，其中正確的有

 

；
①若r=1，劣弧BC，CA，AB的長(zhǎng)為a，b，c，則

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

；
②若r=1，圓弧AB在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₁與圓弧CA在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₂的夾角為α；
③若α=β=γ=

π

2

，球面與以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體的所有表面的交線(xiàn)長(zhǎng)度和為f（r），則f（1）=

3

2

π；
④若α=β=γ=

π

2

，球面與以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體的所有表面的交線(xiàn)長(zhǎng)度和為f（r），則f（r）-a=0（a∈R）的零點(diǎn)可能有0個(gè)，1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：壓軸題,閱讀型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：①過(guò)B點(diǎn)作BH⊥平面OAC，垂足為H，再過(guò)H作HN⊥AO，HM⊥CO，有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角為∠BNH=α，∠BMH=γ，由于r=1，劣弧BC，CA，AB的長(zhǎng)為a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，∠AOC=b，由直角三角形中正弦函數(shù)的定義，即可判斷；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定義，可得，圓弧AB在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₁與圓弧CA在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₂的夾角為α或π-α，即可判斷；
③若α=β=γ=

π

2

，則由面面垂直的性質(zhì)定理，可證得OA，OB，OC兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線(xiàn)為三段圓弧AB，BC，CA，求出長(zhǎng)度，即可判斷；
④由③，球面與正方體所有表面可能無(wú)交線(xiàn)或交線(xiàn)為三段圓弧AB，BC，CA，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，1，即可判斷．

解答： 解：①過(guò)B點(diǎn)作BH⊥平面OAC，垂足為H，再過(guò)H作HN⊥AO，HM⊥CO，
連接BN，BM，則由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得BN⊥AO，BM⊥CO，
即有二面角B-OA-C，A-OC-B的平面角為∠BNH=α，∠BMH=γ，
由于r=1，劣弧BC，CA，AB的長(zhǎng)為a，b，c，即∠BOC=a，∠AOB=c，
∠AOC=b，sinγ=

BH

BM

，sinα=

BH

BN

，則

sinα

sinγ

=

BM

BN

=

OBsina

OBsinc

，
∴

sinα

sinγ

=

sina

sinc

，同理可得，

sinα

sinβ

=

sina

sinb

，故

sina

sinα

=

sinb

sinβ

=

sinc

sinγ

故①正確；
②若r=1，由相切和二面角平面角的定義，可得，圓弧AB在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₁與圓弧CA在點(diǎn)A處的切線(xiàn)l₂的夾角為α或π-α；故②錯(cuò)誤；
③若α=β=γ=

π

2

，則由面面垂直的性質(zhì)定理，可證得OA，OB，OC兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線(xiàn)為三段圓弧AB，BC，CA，長(zhǎng)度之和為

3π

2

，故③正確；
④若α=β=γ=

π

2

，以O(shè)A，OB，OC為鄰邊所確定的平行六面體為正方體，球面與所有表面的交線(xiàn)長(zhǎng)度和為f（r），
則f（r）-a=0（a∈R）的零點(diǎn)可能有0個(gè)，1個(gè)．故④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，考查線(xiàn)面、面面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間的二面角的判斷，以及球面與正方體各面的交線(xiàn)關(guān)系，考查推理能力，屬于有一定難度的題．