Question

11．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)與對(duì)稱軸垂直的直線與漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB的面積為$\frac{\sqrt{13}bc}{3}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Answer 1

分析 令x=c，則代入y=±$\frac{a}$x可得y=±$\frac{bc}{a}$，根據(jù)△OAB的面積為$\frac{\sqrt{13}bc}{3}$，求出雙曲線的離心率即可．

解答 解：F為右焦點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（c，0），
令x=c，則代入y=±$\frac{a}$x可得y=±$\frac{bc}{a}$，
∵△OAB的面積為$\frac{\sqrt{13}bc}{3}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{2bc}{a}×c$=$\frac{\sqrt{13}bc}{3}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{13}}{3}$
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的對(duì)稱性、考查雙曲線的離心率和漸近線方程，屬于中檔題．