Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-2x}{x+1}$（x≥1），數(shù)列a_n=f（n）（n∈N^*），證明：數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

Answer 1

分析 先證明函數(shù)f（x）=$\frac{3}{1+x}$-2在x≥1時單調(diào)遞減，即可證明數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列．

解答 證明：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1-2x}{x+1}$=$\frac{3-2（1+x）}{1+x}$=$\frac{3}{1+x}$-2（x≥1），
由函數(shù)y=$\frac{3}{1+x}$在x≥1時單調(diào)遞減，可知：x≥1時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
因此數(shù)列a_n=f（n）=$\frac{3}{1+n}-2$（n∈N^*），也單調(diào)遞減．

點評 本題考查了數(shù)列的通項公式、函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．