Question

12．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱長為都為2，頂點B₁在底面ABC內(nèi)的射影是△ABC的中心，則四面體A₁-ABC，B₁-ABC，C₁-ABC公共部分的體積為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 作出圖形，找到三個棱錐的公共部分，利用相似三角形得出公共部分棱錐的高，代入體積公式計算．

解答 解：設菱形ABB₁A₁的中心為E，菱形BCC₁B₁的中心為F，連結CE，AF交點為P，則四面體A₁-ABC，B₁-ABC，C₁-ABC公共部分為三棱錐P-ABC．
取底面ABC的中心O，連結B₁O，則B₁O⊥平面ABC．
延長BO交AC于D，則D為AC的中點，
∵AB=BC=AC=2，O是正三角形ABC的中心，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BO=$\frac{2}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴B₁O=$\sqrt{B{{B}_{1}}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AC，∴△PEF∽△PCA，
∴$\frac{PE}{PC}=\frac{EF}{AC}=\frac{1}{2}$，
又∵E是B₁A的中點，∴P到底面ABC的距離h=$\frac{1}{2}{B}_{1}O$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×\frac{2\sqrt{6}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
故選A．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，棱錐的體積計算，求出公共部分的高是解題關鍵．