Question

13．已知sin（a+$\frac{π}{3}$）+sina=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，且-$\frac{π}{2}$＜a＜0，則cosa=（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$
• D． D、-$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡所給的式子，求得sin（a+$\frac{π}{6}$） 的值，可得cos（a+$\frac{π}{6}$）的值，再利用兩角和差的三角公式求得cosa=cos[（a+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]的值．

解答 解：∵sin（a+$\frac{π}{3}$）+sina=$\frac{1}{2}$sina+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosa+sina=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$cosa+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sina）=$\sqrt{3}$sin（a+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4\sqrt{3}}{5}$，
∴sin（a+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{4}{5}$．
再根據(jù)-$\frac{π}{2}$＜a＜0，則cos（a+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（a+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
∴cosa=cos[（a+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（a+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（a+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{5}•\frac{\sqrt{3}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$，
故選：C．

點評 本題主要考查輔助角公式、兩角和差的三角公式的應用，屬于基礎題．