Question

4．定義$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個(gè)正數(shù)p₁，p₂…p_n的“平均倒數(shù)”．若已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“平均倒數(shù)”為$\frac{1}{2n+1}$，又b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$，則$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{2017}_{2018}}$等于（　�。�

• A． $\frac{2018}{2019}$
• B． $\frac{2017}{2018}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{2015}{2016}$

Answer 1

分析 由題意和“平均倒數(shù)”的定義列出方程，求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，根據(jù)${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n，代入b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$化簡求出b_n，代入$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$化簡后利用裂項(xiàng)相消法求出式子的和．

解答 解：由題意和“平均倒數(shù)”得，$\frac{n}{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}$=$\frac{1}{2n+1}$，
設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則S_n=2n²+n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1
=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1，
當(dāng)n=1時(shí)也適合上式，∴a_n=4n-1，則b_n=$\frac{{a}_{n}+1}{4}$=n，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{_{1}_{2}}+\frac{1}{_{2}_{3}}+…+\frac{1}{_{2017}_{2018}}$=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}$）
=$1-\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查新定義的理解與應(yīng)用，利用公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求數(shù)列的通項(xiàng)，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查化簡、變形能力．