【題目】已知函數是奇函數.
(1)求實數的值;
(2)若,對任意有恒成立,求實數取值范圍;
(3)設,若,問是否存在實數使函數在上的最大值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1) (2) (3)不存在,理由見解析.
【解析】
(1)根據定義域為R且為奇函數可知, 代入即可求得實數的值.
(2)由(1)可得函數的解析式,并判斷出單調性.根據將不等式轉化為關于的不等式,結合時不等式恒成立,即可求得實數取值范圍;
(3)先用表示函數.根據求得的解析式,根據單調性利用換元法求得的值域.結合對數的定義域,即可求得的取值范圍.根據對數型復合函數的單調性,即可判斷在的取值范圍內能否取到最大值0.
(1)函數的定義域為R,且為奇函數
所以,即
解得
(2)由(1)可知當時,
因為,即
解不等式可得
所以在R上單調遞減,且
所以不等式可轉化為
根據函數在R上單調遞減
所不等式可化為
即不等式在恒成立
所以恒成立
化簡可得
由打勾函數的圖像可知,當時,
所以
(3)不存在實數.理由如下:
因為
代入可得,解得或(舍)
則,
令,易知在R上為單調遞增函數
所以當時, ,
則
根據對數定義域的要求,所以滿足在上恒成立
即在上恒成立
令,
所以,即
又因為
所以
對于二次函數,開口向上,對稱軸為
因為
所以
所以對稱軸一直位于的左側,即二次函數在內單調遞增
所以,
假設存在滿足條件的實數,則:
當時, 由復合函數單調性的判斷方法,可知為減函數,所以根據可知,即
解得,所以舍去
當時, 復合函數單調性的判斷方法可知為增函數,所以根據可知,即
解得,所以舍去
綜上所述,不存在實數滿足條件成立.
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【題目】“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來,睡了一覺,當它醒來時,發(fā)現烏龜快到終點了,于是急忙追趕,但為時已晚,烏龜還是先到達了終點.用,分別表示烏龜和兔子所行的路程,為時間,則與故事情節(jié)相吻合的是( 。
A.B.C.D.
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【題目】某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產一臺儀器需增加投入100元.設該公司的儀器月產量為臺,當月產量不超過400臺時,總收益為元,當月產量超過400臺時,總收益為元.(注:總收益=總成本+利潤)
(1)將利潤表示為月產量的函數;
(2)當月產量為何值時,公司所獲利潤最大?最大利潤為多少元?
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知在平面直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),曲線的方程為.以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求直線和曲線的極坐標方程;
(2)曲線分別交直線和曲線于點,求的最大值及相應的值.
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【題目】為打贏打好脫貧攻堅戰(zhàn),實現建檔立卡貧困人員穩(wěn)定增收,某地區(qū)把特色養(yǎng)殖確定為脫貧特色主導產業(yè),助力鄉(xiāng)村振興.現計劃建造一個室內面積為平方米的矩形溫室大棚,并在溫室大棚內建兩個大小、形狀完全相同的矩形養(yǎng)殖池,其中沿溫室大棚前、后、左、右內墻各保留米寬的通道,兩養(yǎng)殖池之間保留2米寬的通道.設溫室的一邊長度為米,如圖所示.
(1)將兩個養(yǎng)殖池的總面積表示為的函數,并寫出定義域;
(2)當溫室的邊長取何值時,總面積最大?最大值是多少?
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【題目】經過函數性質的學習,我們知道:“函數的圖象關于軸成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數”.
(1)若為偶函數,且當時,,求的解析式,并求不等式的解集;
(2)某數學學習小組針對上述結論進行探究,得到一個真命題:“函數的圖象關于直線成軸對稱圖形”的充要條件是“為偶函數”.若函數的圖象關于直線對稱,且當時,.
(i)求的解析式;
(ii)求不等式的解集.
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【題目】已知函數, .
(1)求的單調區(qū)間;
(2)若圖像上任意一點處的切線的斜率,求的取值范圍;
(3)若對于區(qū)間上任意兩個不相等的實數都有成立,求的取值范圍.
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