Question

【題目】已知橢圓的離心率為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)在以為直徑的圓上，于點(diǎn)．試求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)離心率得定義，長軸的定義，以及a，b，c的關(guān)系即可求出橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)出A，B點(diǎn)的坐標(biāo)，直線l方程，再令直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出，，根據(jù)且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），OH⊥AB于H點(diǎn)．用參數(shù)表示H點(diǎn)坐標(biāo)，把參數(shù)消掉，即可得到點(diǎn)H的軌跡方程．

（Ⅰ）由題意知，，，．

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)，

⑴若軸，可設(shè)，因，則．

由，得，即．

若軸，可設(shè)，同理可得．

⑵當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，

由，消去得．

則．

．

由，得．

故 ，即（*）．

由，可知直線的方程為．

聯(lián)立方程組，得（記為②）．

代入（*）式，化簡得．

綜合⑴⑵，可知點(diǎn)的軌跡方程為．