Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）試判斷1是的極大值點還是極小值點，并說明理由；

（Ⅱ）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證： .

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）求出函數(shù)定義域，求出，判斷在1的兩側(cè)的正負(fù)，可得極值是極大還是極小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ），求出導(dǎo)函數(shù)，為了確定的最小值，需要確定的單調(diào)性，以確定的正負(fù)，因此又要對求導(dǎo)，確定出在單調(diào)遞增， 有唯一零點，且，這是的極小值點，

，現(xiàn)在要證這個極小值大于－1，設(shè)，再一次利用導(dǎo)數(shù)的知識證明在是單調(diào)減函數(shù)，從而．

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為，

因為 ，所以.

當(dāng)時， ， ，所以，故在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ， ，所以，故在上單調(diào)遞減；

所以1是函數(shù)的極小值.

（Ⅱ）由題意可知， ，

， ，令， ，

則，故在上單調(diào)遞增.

又， ，

所以，使得，即，所以，

， 隨的變化情況如下：

所以，

由式得，代入上式得

，

令， ，則，

故在上單調(diào)遞減，所以，

又，所以，即，所以.