Question

已知c＞0，且c≠1，設(shè)p：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，+∞）上為增函數(shù)，若“p且q”為假，“p或q”為真，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：由函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，∞）上為增函數(shù)，知q：0＜c≤

1

2

，￢q：c＞

1

2

且c≠1．由“p或q”為真，“p且q”為假，知p真q假，或p假q真，由此能求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答：解∵函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，∴0＜c＜1．（2分）
即p：0＜c＜1，
∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）
又∵f（x）=x²-2cx+1在（

1

2

，∞）上為增函數(shù)，∴c≤

1

2

．
即q：0＜c≤

1

2

，
∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞

1

2

且c≠1．（5分）
又∵“p或q”為真，“p且q”為假，
∴p真q假，或p假q真．（6分）
①當(dāng)p真，q假時(shí)，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞

1

2

，且c≠1}={c|

1

2

＜c＜1}．（8分）
②當(dāng)p假，q真時(shí)，{c|c＞1}∩{c|0＜c≤

1

2

}=∅．[（10分）]
綜上所述，實(shí)數(shù)c的取值范圍是{c|

1

2

＜c＜1}．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合命題的真假判斷及應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．