Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-a+lnx}{x}$，a∈R．
（1）求f（x）的極值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范圍；
（3）當(dāng)正整數(shù)n＞8時(shí)，比較${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$與${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）先求出導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)為0的根，在檢驗(yàn)導(dǎo)數(shù)為0的根兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號即可求解；
（2）對lnx-kx＜0分離k，變形移向得出$\frac{lnx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立．構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需g（x）max＜k．轉(zhuǎn)化為求g（x）的最大值；
（3）設(shè)a=${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$，b=${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$，分別取對數(shù)，根據(jù)前兩問研究的g（x）的單調(diào)性，判斷出 $\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＞$\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}$＞0，進(jìn)而得出a＞b．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a-lnx}{{x}^{2}}$，令f′（x）=0得x=e^a，
當(dāng)x∈（0，e^a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e^a，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
可知f（x）有極大值為f（e^a）=e^-a．
（2）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需$\frac{lnx}{x}$＜k在（0，+∞）上恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，只需g（x）_max＜k．
g（x）=$\frac{lnx}{x}$是題干中a=1時(shí)情形，
由（1）知，g（x）有最大值為f（e）=$\frac{1}{e}$．
所以k＞$\frac{1}{e}$．
（3）設(shè)a=${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$，b=${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$，
則lna=$\sqrt{n+1}$ln$\sqrt{n}$，lnb=$\sqrt{n}$ln$\sqrt{n+1}$，$\frac{lna}{lnb}$=$\frac{\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}{\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}}$，
考察函數(shù)g（x）=$\frac{lnx}{x}$，由（1）可知，g（x）在（e，+∞）為減函數(shù)，
當(dāng)正整數(shù)n＞8時(shí)，$\sqrt{n}$，$\sqrt{n+1}$∈（e，+∞），
所以g（$\sqrt{n}$）＞g（$\sqrt{n+1}$），即 $\frac{ln\sqrt{n}}{\sqrt{n}}$＞$\frac{ln\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}$＞0，
即有$\frac{lna}{lnb}$＞1，lna＞lnb，
等價(jià)于a＞b，即 ${（{\sqrt{n}}）^{\sqrt{n+1}}}$＞${（{\sqrt{n+1}}）^{\sqrt{n}}}$．

點(diǎn)評 本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，最值的應(yīng)用，涉及到分離參數(shù)的解題方法．能夠?qū)�問題轉(zhuǎn)化，聯(lián)系到函數(shù)的性質(zhì)，是達(dá)到較高水平的體現(xiàn)．