Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-2x．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，曲線y=x²恒在曲線y=e^x的下方；
（3）討論函數(shù)g（x）=x²-ae^x（a∈R）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
參考公式：a^log_aN=N（a＞0，a≠1，N＞0）

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)等于0，求出函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，求出導(dǎo)數(shù)，利用（1）的結(jié)論得到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷g（x）的單調(diào)性，從而得出結(jié)論；
（3）a=0時(shí)，顯然求出，a≠0時(shí)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合（2），求出即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函數(shù)f（x）的極值是
f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）證明：設(shè)函數(shù)h（x）=e^x-x²，
∴h′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得極小值，
∴h′（x）≥f（ln2）=e^ln2-ln2=2-ln2＞0，
∴h（x）是R上的增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=1＞0，
∴e^x＞x²，即x²＜e^x；
∴當(dāng)x＞0時(shí)，曲線y=x²恒在曲線y=e^x的下方；
（3）a=0時(shí)，g（x）=x²，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
a≠0時(shí)，論函數(shù)g（x）=x²-ae^x（a∈R）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
即討論y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
①a＜0時(shí)，y=$\frac{1}{a}$x²開口向下，和y=e^x無(wú)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
②a＞0時(shí)，y=$\frac{1}{a}$x²開口向上，x＜0時(shí)與y=e^x1個(gè)交點(diǎn)，
下面討論x＞0的情況，
由（2）得：$\frac{1}{a}$≤1即a≥1時(shí)，$\frac{1}{a}$x²＜e^x；
故0＜a＜1時(shí)，y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²有3個(gè)交點(diǎn)，g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，
a≥1時(shí)，y=e^x和y=$\frac{1}{a}$x²有1個(gè)交點(diǎn)，g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
綜上：a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；a=0時(shí)，函數(shù)g（x）有1個(gè)零點(diǎn)，
0＜a＜1時(shí)，g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，a≥1時(shí)，g（x）有1個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查運(yùn)算求解能力以及邏輯推理能力，考查了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用問(wèn)題，是難題目．