Question

12．（1）若函數(shù)f（x）=lnx-ax有極值，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）若函數(shù)g（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由題意得到a＞0，在定義域下令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為y=lnx和y=ax有交點(diǎn)，通過討論a的范圍，求出滿足條件的a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=lnx-ax的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，
若函數(shù)f（x）=lnx-ax有極值，
則a＞0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，
故答案為：（0，$\frac{1}{a}$）；
（2）解：f（x）=xlnx-$\frac{1}{2}$ax²-x的定義域是（0，+∞），
f′（x）=lnx-ax，
若函數(shù)f（x）有極值，則f′（x）=lnx-ax有解，
即y=lnx和y=ax有交點(diǎn)，
①a＜0時(shí)，顯然有解，
②a＞0時(shí)，設(shè)y=lnx和y=ax相切的切點(diǎn)是（x₀，lnx₀），
∴切線方程是：y=$\frac{1}{{x}_{0}}$x，故lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，
解得：x₀=e，
∴y=lnx和y=ax相切時(shí)，a=$\frac{1}{e}$，
若y=lnx和y=ax有交點(diǎn)，
只需a＜$\frac{1}{e}$，
綜上：a＜$\frac{1}{e}$，
故答案為：（-∞，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．