Question

若函數(shù)f（x）=x²+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，則z=

2a+b-4

a

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，畫(huà)出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)z=2+

b-4

a-0

，表示2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）連線的斜率．?dāng)?shù)形結(jié)合求得

b-4

a-0

的范圍，可得z的范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x²+ax+2b在區(qū)間（0，1），（1，2）
內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
∴

f(0)=2b＞0 f(1)=a+2b+1＜0 4+2a+2b＞0

，即

b＞0 a+2b+1＜0 a+b+2＞0

，畫(huà)出可行域，
如圖所示：表示△ABC的內(nèi)部區(qū)域，
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0）．
目標(biāo)函數(shù)z=2+

b-4

a-0

，即2加上點(diǎn)（a，b）與點(diǎn)M（0，4）
連線的斜率．
數(shù)形結(jié)合可得，

b-4

a-0

的最小值趨于 K_AM=

4-1

0+3

=1，

b-4

a-0

的最大值趨于 K_BM=

4-0

0+1

=4，
故z的最小值趨于2+1=3，最大值趨于2+4=6，
故答案為（3，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，斜率公式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．