19.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{e}^{x}({x}^{2}-bx)}{x}$(b∈R).若存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,則實數(shù)b的取值范圍是( 。
A.(-∞,$\frac{5}{6}$)B.(-∞,$\frac{8}{3}$)C.(-$\frac{3}{2}$,$\frac{5}{6}$)D.($\frac{8}{3}$,+∞)

分析 求出f′(x),問題轉(zhuǎn)化為b<$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,令g(x)=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$,x∈[$\frac{1}{2}$,2],求出b的范圍即可.

解答 解:∵f(x)=$\frac{{e}^{x}({x}^{2}-bx)}{x}$=ex(x-b),
∴f′(x)=ex(x-b+1),
若存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得f(x)+xf′(x)>0,
則若存在x∈[$\frac{1}{2}$,2],使得ex(x-b)+xex(x-b+1)>0,
即b<$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$,2]恒成立,
令g(x)=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$,x∈[$\frac{1}{2}$,2],
則g′(x)=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{(x+1)}^{2}}$>0,
g(x)在[$\frac{1}{2}$,2]遞增,
∴g(x)最大值=g(2)=$\frac{8}{3}$,
故b<$\frac{8}{3}$,
故選:B.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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C.存在函數(shù)f(x)使得對任意的實數(shù)y,都有等式f(cosy)=cos3y成立
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