Question

16．在正方形ABCD中，AB=AD=2，M，N分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且MN=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范圍為[4，8-2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)CM=a，得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$關(guān)于a的解析式，根據(jù)a的范圍和基本不等式得出答案．

解答 解：以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：
設(shè)CM=a，則CN=$\sqrt{2-{a}^{2}}$．∴0$≤a≤\sqrt{2}$．
∴M（2，2-a），N（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2）．
∴$\overrightarrow{AM}$=（2，2-a），$\overrightarrow{AN}$=（2-$\sqrt{2-{a}^{2}}$，2）．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=4-2$\sqrt{2-{a}^{2}}$+4-2a=8-2（a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$）．
∵2a$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤a²+（$\sqrt{2-{a}^{2}}$）²=2，
∴（a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$）²=2+2a$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤4．
∴a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤2．
又由三角形的性質(zhì)可得MC+CN＞MN=$\sqrt{2}$，當(dāng)M，C，N三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，MC+CN=MN=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}≤$a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$≤2．
∴當(dāng)a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最大值8-2$\sqrt{2}$，當(dāng)a+$\sqrt{2-{a}^{2}}$=2時(shí)，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$取得最小值4．
故答案為：[4，8-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．