Question

1．已知當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，一次函數(shù)y=x²-3mx+2的值恒大于1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 由條件可得到當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，$m＞\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$恒成立，可設(shè)$f（x）=\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$，求導(dǎo)數(shù)$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{3{x}^{2}}$，且可判斷f′（x）＜0，從而有f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，從而有f（x）$＜f（-1）=-\frac{2}{3}$，這樣即可求出m的取值范圍．

解答 解：根據(jù)條件，-1＜x＜0時(shí)，x²-3mx+2＞1恒成立；
∴-1＜x＜0時(shí)，$m＞\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$恒成立；
設(shè)f（x）=$\frac{x}{3}+\frac{1}{3x}$，$f′（x）=\frac{{x}^{2}-1}{3{x}^{2}}$；
∵-1＜x＜0，∴0＜x²＜1，x²-1＜0；
∴f′（x）＜0；
即f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
x從區(qū)間（-1，0）的左邊趨向0時(shí)，f（x）趨向-∞；
∴f（x）$＜f（-1）=-\frac{2}{3}$；
∴$m≥-\frac{2}{3}$；
∴m的取值范圍為[$-\frac{2}{3}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 考查不等式的性質(zhì)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)取值范圍的方法，以及根據(jù)m＞f（x）求m的取值范圍的方法．