Question

18．在△ABC中，滿足∠A=$\frac{π}{2}$，M是BC邊上的一點．
（Ⅰ）若∠B=$\frac{π}{4}$，求向量$\overrightarrow{AB}$+$\sqrt{3}$$\overrightarrow{AC}$與向量$\overrightarrow{AB}$的正弦值；
（Ⅱ）若∠B=$\frac{π}{3}$，|AB|=m（m為正常數(shù)），且M是BC邊上的三等分點，求$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AM}$；
（Ⅲ）若|$\overrightarrow{AM}$|=3，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AM}$=3，求|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AM}$|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)兩向量夾角的余弦公式，先求向量$\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AB}$的余弦值：根據(jù)條件，容易得到$（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AB}={\overrightarrow{AB}}^{2}$，$|\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AB}|$，從而帶入求向量夾角的余弦公式即可，從而便能求出這兩向量的正弦值；
（Ⅱ）根據(jù)條件可求得|BC|=2m，所以進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可；
（Ⅲ）可設(shè)∠CAM=α，從而根據(jù)條件及數(shù)量積的運(yùn)算可得到$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{cosα}，|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2sinα}$，所以便得到$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}）^{2}$=$\frac{1}{4ta{n}^{2}α}+ta{n}^{2}α+\frac{77}{4}≥\frac{81}{4}$，并且當(dāng)tan$α=\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，所以便求出了$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}|$的最小值．

解答 解：如圖，

（Ⅰ）若∠B=$\frac{π}{4}$，則$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$；
∴$（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AB}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$，$|\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}|=\sqrt{（\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}）^{2}}$=$2|\overrightarrow{AB}|$，設(shè)向量$\overrightarrow{AB}+\sqrt{3}\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{AB}$夾角為θ；
則：cosθ=$\frac{{\overrightarrow{AB}}^{2}}{2|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（Ⅱ）若∠B=$\frac{π}{3}$，|AB|=m，則|BC|=2m；
∴$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$=$2{m}^{2}•（-\frac{1}{2}）+\frac{4}{3}{m}^{2}=\frac{1}{3}{m}^{2}$；
（Ⅲ）設(shè)∠CAM=α，則∠BAM=$\frac{π}{2}-α$，0＜α＜$\frac{π}{2}$；
根據(jù)已知條件$\left\{\begin{array}{l}{3|\overrightarrow{AC}|cosα=3}\\{6|\overrightarrow{AB}|sinα=3}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{AC}|=\frac{1}{cosα}，|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{2sinα}$；
∴$（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}）^{2}={\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}$$+9+3+6=\frac{1}{4si{n}^{2}α}+\frac{1}{co{s}^{2}α}+18$
=$\frac{1}{4}+\frac{1}{4ta{n}^{2}α}+ta{n}^{2}α+1+18$$≥\frac{81}{4}$，當(dāng)且僅當(dāng)tanα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取“=”；
∴$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}|$的最小值為$\frac{9}{2}$．

點評 考查兩向量夾角的余弦公式，數(shù)量積的運(yùn)算，求向量$\overrightarrow{a}$的長度：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，線段三等分點的概念，要求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的最小值，先求$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}）^{2}$的最小值，基本不等式的運(yùn)用．