Question

15．對于函數(shù)若f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），存在實數(shù)x₀，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的“希望值”．
（1）當a=2，b=-2時，求f（x）的希望值；
（2）若對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有希望值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設x為希望值，則有2x²-x-4=x，變形為2x²-2x-4=0，解方程即可．
（2）將f（x）=x轉(zhuǎn)化為ax²+bx+b-2=0．由已知，此方程有實根，則有△_x≥0恒成立求解；

解答 解∵f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），
（1）當a=2，b=-2時，f（x）=2x²-x-4．
設x為其不動點，即2x²-x-4=x．
則2x²-2x-4=0．∴x₁=-1，x₂=2．即f（x）的不動點是-1，2．
（2）由f（x）=x得：ax²+bx+b-2=0．
由已知，此方程有實根，△_x≥0恒成立，
即b²-4a（b-2）≥0．
即b²-4ab+8a≥0對任意b∈R恒成立．
∴△_b≤0．，
∴16a²-32a≤0，
∴0≤a≤2．

點評 本題主要考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及垂直平分線定義的應用．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．