Question

20．?dāng)?shù)列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$所有項(xiàng)的和為2．

Answer 1

分析 先求出數(shù)列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$前n項(xiàng)和，再求出前n項(xiàng)和的極限，從而求出結(jié)果．

解答 解：數(shù)列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$前n項(xiàng)和：
S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=2[1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ]，
∴數(shù)列$\left\{{{{（{\frac{2}{3}}）}^n}，n∈N*}\right\}$所有項(xiàng)的和為：
S=$\underset{lim}{n→∞}{S}_{n}$=$\underset{lim}{n→∞}2[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．