Question

15．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，一個(gè)焦點(diǎn)為F（${\sqrt{3}$，0）．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)B是橢圓與y軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)B作橢圓的兩條弦BM和BN，且BM⊥BN．
（i）直線MN是否過定點(diǎn)，如果是求出該點(diǎn)坐標(biāo)，如果不是請(qǐng)說明理由；
（ii）若△BMN是等腰直角三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）B（0，-1）．（i）當(dāng)直線MN與x軸平行時(shí)，直線與y軸的交點(diǎn)為D$（0，\frac{3}{5}）$．由橢圓的對(duì)稱性猜想直線MN經(jīng)過定點(diǎn)D$（0，\frac{3}{5}）$．下面給出證明：設(shè)直線BM的方程為：y=kx-1，與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²-8kx=0，解得M，同理可得N．由k_MD=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$=k_ND，即可證明點(diǎn)M，N，D共線．
（ii）①直線MN與x軸平行時(shí)，△BMN是等腰直角三角形，此時(shí)直線MN的方程為：y=$\frac{3}{5}$．
②直線MN與x軸不平行時(shí)，設(shè)此時(shí)直線MN的方程為：y=kx+$\frac{3}{5}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立化為：（25+100k²）x²+120kx-64=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段MN的中點(diǎn)E，△BMN是等腰直角三角形，可得BE⊥MN，利用斜率關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）B（0，-1）．（i）當(dāng)直線MN與x軸平行時(shí)，直線與y軸的交點(diǎn)為D$（0，\frac{3}{5}）$．由橢圓的對(duì)稱性猜想直線MN經(jīng)過定點(diǎn)D$（0，\frac{3}{5}）$．
下面給出證明：設(shè)直線BM的方程為：y=kx-1，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²-8kx=0，
解得M$（\frac{8k}{1+4{k}^{2}}，\frac{4{k}^{2}-1}{1+4{k}^{2}}）$，同理可得N$（\frac{-8k}{{k}^{2}+4}，\frac{4-{k}^{2}}{4+{k}^{2}}）$．
由k_MD=$\frac{{k}^{2}-1}{5k}$=k_ND，∴點(diǎn)M，N，D共線，即直線MN是經(jīng)過定點(diǎn)D$（0，\frac{3}{5}）$．
（ii）①直線MN與x軸平行時(shí)，∵△BMN是等腰直角三角形，此時(shí)直線MN的方程為：y=$\frac{3}{5}$．
②直線MN與x軸不平行時(shí)，設(shè)此時(shí)直線MN的方程為：y=kx+$\frac{3}{5}$．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{3}{5}}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（25+100k²）x²+120kx-64=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-120k}{25+100{k}^{2}}$，可得線段MN的中點(diǎn)E$（\frac{-60k}{25+100{k}^{2}}，\frac{15}{25+100{k}^{2}}）$，
∴k_BE=$\frac{\frac{15}{25+100{k}^{2}}+1}{\frac{-60k}{25+100{k}^{2}}}$=$\frac{2+5{k}^{2}}{-3k}$，
∵△BMN是等腰直角三角形，∴BE⊥MN，
∴$\frac{2+5{k}^{2}}{-3k}$×k=-1，化為：k²=$\frac{1}{5}$，解得k=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直線MN的方程為$y=±\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．