Question

16．若設(shè)“x，y＞0，x+y＞a，則$\frac{1+x}{y}$，$\frac{1+y}{x}$中至少有一個(gè)小于2”為真命題，則a的最小值是2．

Answer 1

分析 將命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可．

解答 解：命題的等價(jià)條件是當(dāng)x，y＞0，$\frac{1+x}{y}$≥2，$\frac{1+y}{x}$≥2時(shí)，
即$\left\{\begin{array}{l}{x，y＞0}\\{1+x≥2y}\\{1+y≥2x}\end{array}\right.$時(shí)，x+y≤a恒成立，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
設(shè)z=x+y，則y=-x+z，
平移直線y=-x+z，當(dāng)y=-x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{1+x=2y}\\{1+y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此時(shí)z=1+1=2，
則a≥2，
即a的最小值是2，
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題真假的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．