Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3{x}^{2}+ax+26}{x+1}$，若存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [-15，+∞）
• B． （-∞，2-12$\sqrt{2}$]
• C． （-∞，-16]
• D． （-∞，-15]

Answer 1

分析 由題意可得3x²+（a-2）x+24≤0，即有2-a≥$\frac{3{x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，運(yùn)用基本不等式求得到成立的條件，再由x的范圍，可得最小值，運(yùn)用存在性問題的解法，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：f（x）≤2，即為$\frac{3{x}^{2}+ax+26}{x+1}$≤2，
由x∈N^*，可得3x²+（a-2）x+24≤0，
即有2-a≥$\frac{3{x}^{2}+24}{x}$=3x+$\frac{24}{x}$，
由3x+$\frac{24}{x}$≥2$\sqrt{3x•\frac{24}{x}}$=12$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2$\sqrt{2}$∉N，
由x=2可得6+12=18；x=3時(shí)，可得9+8=17，
可得3x+$\frac{24}{x}$的最小值為17，
由存在x∈N^*使得f（x）≤2成立，
可得2-a≥17，
解得a≤-15．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查不等式存在性問題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和函數(shù)的最值的求法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．