Question

19．已知a＞$\frac{1}{2}$，且a≠1，條件p：函數(shù)f（x）=log_（2a-1）x在其定義域上是減函數(shù)；
條件q：函數(shù)g（x）=$\sqrt{x+|x-a|-2}$的定義域為R，如果“p或q”為真，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 條件p：由于函數(shù)f（x）是減函數(shù)，可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a≠1}\\{0＜2a-1＜1}\end{array}\right.$；條件q：函數(shù)g（x）=$\sqrt{x+|x-a|-2}$的定義域為R，可得?x∈R，x+|x-a|-2≥0恒成立，如圖所示，即可得出．

解答 解：條件p：函數(shù)f（x）=log_（2a-1）x在其定義域上是減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{a≠1}\\{0＜2a-1＜1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}＜a＜1$；
條件q：函數(shù)g（x）=$\sqrt{x+|x-a|-2}$的定義域為R，
∴?x∈R，x+|x-a|-2≥0恒成立，即|x-a|≥2-x，
分別畫出函數(shù)：y=2-x，y=|x-a|的圖象，
由圖可知：a≥2．
∵“p或q”為真，
∴p與q至少有一個為真命題．
∴a的取值范圍是$（\frac{1}{2}，1）$∪[2，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．