Question

某射擊運(yùn)動(dòng)員向一目標(biāo)射擊，該目標(biāo)分為3個(gè)不同部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6．擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比．
（1）若射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為

1

3

且相互獨(dú)立．設(shè)ξ表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E（ξ）；
（2）若射擊2次均擊中目標(biāo)，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求事件A發(fā)生的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）利用二項(xiàng)分布及其數(shù)學(xué)期望即可得出；
（2）利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（1）依題意知ξ～B(4，

1

3

)，ξ的分布列

ξ	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

（或E（ξ）=np=

4

3

）．
（2）設(shè)A_i表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2，
B_i表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i=1，2．
依題意，知P（A₁）=P（B₁）=0.1，P（A₂）=P（B₂）=0.3，
A=A1

.

B1

∪

.

A1

B1∪A1B1∪A2B2，
所求的概率為P（A）=P(A1

.

B1

)+P(

.

A1

B1)+P(A1B1)+P（A₂B₂）
=P(A1)P(

.

B1

)+P(

.

A1

)P(B1)+P(A1)P(B1)+P（A₂）P（B₂）
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28．
答：事件A的概率為0.28．
另解：記“第一部分至少擊中一次”為事件C，“第二部分被擊中二次”為事件D，
則P（C）=

C

1 2

×0.1×0.9+0.1×0.1=0.19，P（D）=0.3×0.3=0.09．
P（A）=P（C）+P（D）=0.28．
答：事件A發(fā)生的概率為0.28．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二項(xiàng)分布及其分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件和獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．