Question

如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列兩問：

（Ⅰ）在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC∥面DFK？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）若面ADE⊥面ABCE，求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AK=

1

4

AB時(shí)，BC∥面DFK．取H為AB的中點(diǎn)，連接EH，可得BC∥EH．利用三角形的中位線定理可證明FK∥EH，于是得到FK∥BC，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答： 解：（Ⅰ）線段AB上存在一點(diǎn)K，且當(dāng)AK=

1

4

AB時(shí)，BC∥面DFK．
證明如下：
設(shè)H為AB的中點(diǎn)，連接EH，則BC∥EH
又∵AK=

1

4

AB，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，∴BC∥面DFK．
（Ⅱ）∵H為AB的中點(diǎn)，∴AH=HE=BC=1，
∵F為AE的中點(diǎn)，∴FH⊥AE．
∵DA=DE=1，∴DF⊥AE，
∵面ADE⊥面ABCE，∴DF⊥面ABCE
由此可以FA，F(xiàn)H，F(xiàn)D分別為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系如圖．
∵DF⊥面ABCE，∴DF⊥FH，
又∵FH⊥AE，DF∩AE=F，∴FH⊥面ADE，則

FH

為面ADE的一個(gè)法向量．
∵AB=2，BC=1，∴FH=

2

2

，

FH

=(0，

2

2

，0)．
又可得：D(0，0，

2

2

)，A(

2

2

，0，0)，
∴

AD

=(-

2

2

，0，

2

2

)，

AH

=(-

2

2

，

2

2

，0)．
設(shè)面ADB的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • AD =0 n • AH =0

⇒

- 2 2 x+ 2 2 z=0 - 2 2 x+ 2 2 y=0

，即

-x+z=0 -x+y=0

，令x=1，則

n

=(1，1，1)．
所以cos＜

FH

，

n

＞=

2 2

3 × 2 2

=

3

3

，
故二面角E-AD-B的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．