Question

4．已知指數(shù)函數(shù)y=g（x）滿足：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$，定義域為R的函數(shù)f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函數(shù)．
（1）確定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）若對于任意x∈[-5，5]，都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設g（x）=a^x，由條件求得a的值，再根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，求得m的值，可得f（x）的解析式．
（2）任取x₁＜x₂，根據(jù)f（x₁）-f（x₂）＞0，可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
（3）由條件利用f（x）時奇函數(shù)，且是減函數(shù)，求得x的范圍．

解答 解：（1）設g（x）=a^x，∵g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{a}$=$\sqrt{2}$，∴a=2，g（x）=2^x．
∴f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$=$\frac{1{-2}^{x}}{m+2{•2}^{x}}$，∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-1）+f（1）=0，
即$\frac{1-\frac{1}{2}}{m+1}$+$\frac{1-2}{m+4}$=0，解得m=2，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{2+2{•2}^{x}}$，經過檢驗，f（x）為奇函數(shù)．
（2）任取x₁＜x₂，∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{2（1{+2}^{{x}_{1}}）}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{2（1{+2}^{{x}_{2}}）}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）•（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
∵由題設可得${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）是定義在R上的減函數(shù)．
（3）∵對于任意x∈[-5，5]，都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，f（x）為奇函數(shù)，
故有f（1-x）＞-f（1-2x）=f（2x-1），∴1-x＜2x-1，求得x＞$\frac{2}{3}$． 
又∵x∈[-5，5]，∴$\frac{2}{3}$＜x≤5，即x的取值范圍是（$\frac{2}{3}$，5]．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調性的定義和應用，屬于中檔題．