Question

10．函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 若函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上單調遞增，則f′（x）=1-$\frac{1}{{ax}^{2}}$≥0在（-∞，-1）上恒成立，構造函數(shù)將問題轉化為最值問題，可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{ax}$在（-∞，-1）上單調遞增，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{ax}^{2}}$≥0在（-∞，-1）上恒成立，
即$\frac{1}{a}$≤x²在（-∞，-1）上恒成立，
即$\frac{1}{a}$≤1，
解得：a∈（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案為：（-∞，0）∪[1，+∞）

點評 本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，函數(shù)恒成立問題，函數(shù)的最值及幾何意義，分式不等式的解法，難度中檔．