Question

1．若實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-4≤0\\ x-y-1≤0\\ x≥1\end{array}$，則$\frac{y+2}{x+3}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，設P（-3，-2），則$\frac{y+2}{x+3}$表示可行域內(nèi)的點與P點連線的斜率，根據(jù)可行域求出最優(yōu)解，即可得出$\frac{y+2}{x+3}$的最值．

解答 解：作出約束條件表示的可行域如圖所示：

設P（-3，-2），M（x，y），k=$\frac{y+2}{x+3}$，則k=k_PM．
由圖象可知當直線PM經(jīng)過點A時，k取得最大值，
當直線PM經(jīng)過點B時，直線斜率取得最小值．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得A（1，$\frac{3}{2}$），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得B（1，0）．
∴k的最大值為$\frac{\frac{3}{2}+2}{1+3}$=$\frac{7}{8}$，k的最小值為$\frac{0+2}{1+3}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{y+2}{x+3}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{8}$]．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應用，理解目標函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．