Question

9．求棱長為8的正三棱錐的表面積和體積．

Answer 1

分析 由正四面體的棱長為8，所以此四面體一定可以放在棱長為4$\sqrt{2}$的正方體中，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入面積公式、體積公式計算．

解答 解：∵正四面體的棱長為8，
∴此四面體一定可以放在正方體中，
∴我們可以在正方體中尋找此四面體．
如圖所示，四面體ABCD滿足題意，BC=8，
∴正方體的棱長為4$\sqrt{2}$，
∴此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
∵外接球的直徑=正方體的對角線長，
∴外接球的半徑為R=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×4$\sqrt{2}$=2$\sqrt{6}$，
∴球的表面積S=4π•24=96π；
球的體積為V=$\frac{4}{3}π•（2\sqrt{6}）^{3}$=64$\sqrt{6}$π．

點評 本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求出接體幾何元素的數(shù)據(jù)，代入面積、體積公式分別求解．