Question

19．下列命題中：（1）x+$\frac{1}{x}$的最小值是2；（2）$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$的最小值是2；（3）$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的最小值是2；（4）2-3x-$\frac{4}{x}$的最小值是2，其中正確的命題是（2）．

Answer 1

分析 （1）當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$＜0，不成立；，（2）y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2；
（3）y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；（4）當x＞0時，y=2-3x-$\frac{4}{x}$的最大值是2-4$\sqrt{3}$，當x＜0時，最小值是2+4$\sqrt{3}$，不成立．

解答 解：（1）當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，其最小值是2；
當x=0時，y=x+$\frac{1}{x}$不存在；
當x＜0時，y=x+$\frac{1}{x}$=-（-x-$\frac{1}{x}$）≤-2 $\sqrt{（-x）•（\frac{1}{-x}）}$=-2，其最大值是-2．
故（1）不成立；
（2）y=$\frac{{x}^{2}+2}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$≥2；當且僅當x=0時“=”成立；
故（2）成立；
（3）y=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$；
∴y的最小值是$\frac{5}{2}$，
故（3）錯誤；
（4）當x＞0時，y=2-3x-$\frac{4}{x}$≤2-2$\sqrt{3x•\frac{4}{x}}$=2-4$\sqrt{3}$，最大值是2-4$\sqrt{3}$，
當x=0時，y=2-3x-$\frac{4}{x}$不存在，
當x＜0時，y=2-3x-$\frac{4}{x}$≥2+2$\sqrt{（-3x）•（\frac{4}{-x}）}$=2+4$\sqrt{3}$，最小值是2+4$\sqrt{3}$，
故（4）不成立，
故答案為：（2）．

點評 本題考查基本不等式的性質及其應用，解題時要注意均值定理成立的條件：“一正，二定，三相等”，是基礎題．