Question

已知函數f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1．
（1）求函數最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,正弦函數的單調性

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據函數f（x）的解析式求得它的周期，令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數的增區(qū)間．
（2）當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最大值，即為x∈[3，4]時，函數y=f（x）的最大值．再根據x∈[3，4]時，利用正弦函數的定義域和值域求得，f（x）的最大值．

解答： 解：（1）對于函數f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1，它的周期為T=

2π

π 3

=6，
令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，故函數的增區(qū)間為[6k-

1

2

，6k+

5

2

]．
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
故當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最大值，即為x∈[3，4]時，函數y=f（x）的最大值．
再根據x∈[3，4]時，

πx

3

-

π

3

∈[

2π

3

，π]，故當

πx

3

-

π

3

=

2π

3

時，f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1取得最大值為

3

×

3

2

-1=

1

2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．