Question

對任意的實數x恒有3sin²x-cos²x+4acosx+a²≤31，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的最值

專題：三角函數的求值

分析：設y=3sin²x-cos²x+4acosx+a²=3+2a²-4(cosx-

a

2

)2，再分a∈[-2，2]時、當a＜-2時、當a＞2時三種情況，分別利用二次函數的性質求得y的最大值，再根據y的最大值小于或等于31，求得a的范圍，綜合可得結論．

解答： 解：設y=3sin²x-cos²x+4acosx+a²=3-4cos²x+4acosx+a²=3+2a²-4(cosx-

a

2

)2，
當a∈[-2，2]時，

a

2

∈[-1，1]，故當cosx=

a

2

時，函數y取得最大值為3+2a²，
再根據3+2a²≤31，求得-

14

≤a≤

14

．
當a＜-2時，

a

2

＜-1，故當cosx=-1時，函數y取得最大值為a²-4a-1，再根據a²-4a-1≤31，求得-4≤a＜-2．
當a＞2時，

a

2

＞1，故當cosx=1時，函數y取得最大值為a²-4a-1，再根據a²-4a-1≤31，求得2＜a≤4．
綜上可得，a的范圍為[-4，4]，
故答案為：[-4，4]．

點評：本題主要考查同角三角函數的基本關系，二次函數的性質，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．