Question

某校為了解高一年段期中考試數(shù)學(xué)科的情況，從高一的所有數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取n份試卷進(jìn)行分析，得到數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如下圖，其中成績在[70，80）的人數(shù)為15，規(guī)定：成績≥80分為優(yōu)秀．
（Ⅰ）求樣本中成績優(yōu)秀的試卷份數(shù)，并估計(jì)該校高一年段期中考試數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；
（Ⅱ）從樣本成績在[50，60）和[60，70）這兩組中共隨機(jī)抽取2名同學(xué)，求抽取的2名同學(xué)中不及格（成績＜60分）的人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖先求頻率，再求樣本容量，從而求優(yōu)秀率；
（Ⅱ）先求兩個(gè)小組的頻數(shù)，再求其概率分布，從而求數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得：[70，80）的頻率：0.030×10=0.30
所以，n=15÷0.30=50∴第四組[80，90）的頻數(shù)：0.024×10×50=12；
第五組[90，100]的頻數(shù)：0.016×10×50=8；
所以，樣本中優(yōu)秀的試卷份數(shù)為20，樣本的優(yōu)秀率=

12+8

50

=40%，
∴估計(jì)該校高一年段期中考試數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為40%；
（Ⅱ）第一組[50，60）的頻數(shù)：0.01×10×50=5；
第二組[60，70）的頻數(shù)：0.018×10×50=9；ξ的所有可能取值為0，1，2．
依題意，得P(ξ=0)=

C 2 9

C 2 14

=

36

91

，P(ξ=1)=

C 1 5 C 1 9

C 2 14

=

45

91

，P(ξ=2)=

C 2 5

C 2 14

=

10

91

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	36 91	45 91	10 91

∴Eξ=0×

36

91

+1×

45

91

+2×

10

91

=

65

91

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了概率分布與數(shù)學(xué)期望，同時(shí)考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題．