Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，a），$\overrightarrow{n}$=（sinx，-2cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若f（$\frac{π}{3}$）=1，求a的值；
（2）是否存在常數a，使得f（x）的最大值為4．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin²x-2acosx．利用f（$\frac{π}{3}$）=1，化簡整理即可得出．
（2）f（x）=1-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+1+a²．假設存在常數a，使得f（x）的最大值為4．對a分類討論，利用二次函數的單調性與三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin²x-2acosx．
∵f（$\frac{π}{3}$）=1，
∴$（sin\frac{π}{3}）^{2}$-2a$cos\frac{π}{3}$=1，
∴$\frac{3}{4}$-a=1，解得a=-$\frac{1}{4}$．
（2）f（x）=sin²x-2acosx=1-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+1+a²．
假設存在常數a，使得f（x）的最大值為4．
則當a≥1時，-（-1+a）²+1+a²=4，解得a=2．
當a≤-1時，-（1+a）²+1+a²=4，解得a=-2．
當-1＜a＜1時，1+a²=4，解得a=$±\sqrt{3}$，舍去．
綜上可得：a=±2．
因此：存在常數a=±2，使得f（x）的最大值為4．

點評 本題考查了二次函數的單調性、三角函數的單調性、數量積運算性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．