【題目】如圖,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6,離心率為

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過點(diǎn)的直線交橢圓兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?證明你的結(jié)論.

【答案】(1)(2)存在定點(diǎn),使得為定值.

【解析】

根據(jù)點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6,離心率為,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、的方程組,求出 、即可得結(jié)果;(Ⅱ)設(shè)出直線方程,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去可得關(guān)于的一元二次方程,表示為利用韋達(dá)定理化簡可得,令可得結(jié)果.

由題設(shè)得,,解得,∴.

故橢圓的方程為.

,當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)此時直線的方程為,

設(shè),,代入橢圓的方程,消去并整理得,

,,,

可得.設(shè)點(diǎn),

那么,

軸上存在定點(diǎn),使得為定值,則有,解得,

此時,,

當(dāng)直線的斜率不存在時,此時直線的方程為,代入橢圓方程解得,

此時,,, ,

綜上,軸上存在定點(diǎn),使得為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓C a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).

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A.1624B.1024C.1198D.1560

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【題目】隨著馬拉松運(yùn)動在全國各地逐漸興起,參與馬拉松訓(xùn)練與比賽的人數(shù)逐年增加.為此,某市對參加馬拉松運(yùn)動的情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)調(diào)査,其中一項(xiàng)是調(diào)査人員從參與馬拉松運(yùn)動的人中隨機(jī)抽取100人,對其每月參與馬拉松運(yùn)動訓(xùn)練的夭數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到以下統(tǒng)計(jì)表;

平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)

人數(shù)

15

60

25

1)以這100人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替該市參與馬拉松訓(xùn)練的人平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)位于該區(qū)間的概率.從該市所有參與馬拉松訓(xùn)練的人中隨機(jī)抽取4個人,求恰好有2個人是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的概率;

2)依據(jù)統(tǒng)計(jì)表,用分層抽樣的方法從這100個人中抽取12個,再從抽取的12個人中隨機(jī)抽取3個,表示抽取的是“平均每月進(jìn)行訓(xùn)練的天數(shù)不少于20天”的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望

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【題目】已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù),且.當(dāng)時,,若方程300個不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

A.B.C.D.

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【題目】在四棱柱中,平面,底面是邊長為的正方形,交于點(diǎn)交于點(diǎn),且.

(Ⅰ)證明:平面

(Ⅱ)求的長度;

(Ⅲ)求直線所成角的余弦值.

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2)求二面角的正弦值;

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a

b

c

c

a

b

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