【題目】如圖,在三棱柱中,四邊形,均為正方形,且,M為的中點(diǎn),N為的中點(diǎn).
(1)求證:平面ABC;
(2)求二面角的正弦值;
(3)設(shè)P是棱上一點(diǎn),若直線PM與平面所成角的正弦值為,求的值
【答案】(1)證明過程見詳解;(2);(3).
【解析】
(1)先取中點(diǎn)為,連接,,根據(jù)面面平行的判定定理,得到平面平面,進(jìn)而可得平面ABC;
(2)先由題意,得到,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)邊長為,分別求出平面和平面的一個(gè)法向量,根據(jù)向量夾角公式,求解,即可得出結(jié)果;
(3)先設(shè),得到,根據(jù)空間向量的夾角公式,列出等式求解,即可得出結(jié)果.
(1)取中點(diǎn)為,連接,,
因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),
所以,,
又平面,平面,,
所以平面平面,
又平面,
所以平面ABC;
(2)因?yàn)樗倪呅?/span>,均為正方形,所以,,兩兩垂直,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以,,為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)邊長為,則,,,,,
所以,,
因此,,,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,所以,令,則,
因此;
設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,所以,令,則,
因此,
設(shè)二面角的大小為,
則,
所以;
(3)因?yàn)?/span>是棱上一點(diǎn),設(shè),則,
所以,
由(2)知,平面的一個(gè)法向量為,
又直線與平面所成角的正弦值為,記直線與平面所成角為
則有,
整理得,解得或(舍)
所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019冠狀病毒。CoronaVirus Disease2019(COVID-19))是由新型冠狀病毒(2019-nCoV)引發(fā)的疾病,目前全球感染者以百萬計(jì),我國在黨中央、國務(wù)院、中央軍委的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下,已經(jīng)率先控制住疫情,但目前疫情防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻,湖北省中小學(xué)依然延期開學(xué),所有學(xué)生按照停課不停學(xué)的要求,居家學(xué)習(xí).小李同學(xué)在居家學(xué)習(xí)期間,從網(wǎng)上購買了一套高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試卷,快遞員計(jì)劃在下午4:00~5:00之間送貨到小區(qū)門口的快遞柜中,小李同學(xué)父親參加防疫志愿服務(wù),按規(guī)定,他換班回家的時(shí)間在下午4:30~5:00,則小李父親收到試卷無需等待的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某景點(diǎn)共有999級(jí)臺(tái)階,寓意長長久久.游客甲上臺(tái)階時(shí),可以一步走一個(gè)臺(tái)階,也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,無其它可能.若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率也為.為了簡便描述問題,我們約定,甲從0級(jí)臺(tái)階開始向上走,一步走一個(gè)臺(tái)階記1分,一步走兩個(gè)臺(tái)階記2分,記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為,其中,且.
(1)甲走3步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(2)證明:當(dāng),且時(shí),數(shù)列是等比數(shù)列,并求甲登上第100級(jí)臺(tái)階的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長為6,離心率為,
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),問在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)給出三個(gè)條件:①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.從中選出兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中,并以此為依據(jù)求解問題.
已知函數(shù)(,),_____,_____.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B是橢圓C:)的左右頂點(diǎn),P點(diǎn)為橢圓C上一點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為H,且
(1)若橢圓C經(jīng)過了圓的圓心,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在(1)的條件下,拋物線D:的焦點(diǎn)F與點(diǎn)關(guān)于y軸上某點(diǎn)對(duì)稱,且拋物線D與橢圓C在第四象限交于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作直線與拋物線D有唯一公共點(diǎn),求該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,,分別是其左、右焦點(diǎn),且過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求的外接圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某校運(yùn)動(dòng)會(huì)男生組田徑綜合賽以選手三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的綜合積分高低決定排名.具體積分規(guī)則如表1所示,某代表隊(duì)四名男生的模擬成績?nèi)绫?/span>2.
表1 田徑綜合賽項(xiàng)目及積分規(guī)則
項(xiàng)目 | 積分規(guī)則 |
米跑 | 以秒得分為標(biāo)準(zhǔn),每少秒加分,每多秒扣分 |
跳高 | 以米得分為標(biāo)準(zhǔn),每多米加分,每少米扣分 |
擲實(shí)心球 | 以米得分為標(biāo)準(zhǔn),每多米加分,每少米扣分 |
表2 某隊(duì)模擬成績明細(xì)
姓名 | 100米跑(秒) | 跳高(米) | 擲實(shí)心球(米) |
甲 | |||
乙 | |||
丙 | |||
丁 |
根據(jù)模擬成績,該代表隊(duì)?wèi)?yīng)選派參賽的隊(duì)員是:( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某濕地公園的鳥瞰圖是一個(gè)直角梯形,其中:,,,長1千米,長千米,公園內(nèi)有一個(gè)形狀是扇形的天然湖泊,扇形以長為半徑,弧為湖岸,其余部分為灘地,B,D點(diǎn)是公園的進(jìn)出口.公園管理方計(jì)劃在進(jìn)出口之間建造一條觀光步行道:線段線段弧,其中Q在線段上(異于線段端點(diǎn)),與弧相切于P點(diǎn)(異于弧端點(diǎn)]根據(jù)市場行情,段的建造費(fèi)用是每千米10萬元,湖岸段弧的建造費(fèi)用是每千米萬元(步行道的寬度不計(jì)),設(shè)為弧度觀光步行道的建造費(fèi)用為萬元.
(1)求步行道的建造費(fèi)用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求其走義域;
(2)當(dāng)為何值時(shí),步行道的建造費(fèi)用最低?
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