Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b ， g(x)＝ex(cx＋d)，若曲線y＝f(x)和曲線y＝g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y＝4x＋2．
（1）求a ， b ， c ， d的值；
（2）若x≥－2時(shí)，恒有f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)題意 ,因?yàn)閒（x）=2x+a，g（x）=ex（cx+2）+cex，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知 ,所以 =2．

（2）解：由（1）知， ，

設(shè)函數(shù) ，

．

由題設(shè)可得 ，即 ，

令 得

①若 ，則 ，∴當(dāng) 時(shí)，

，當(dāng) 時(shí)， ，即F（x）在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增，故 在 取最小值 ，

而 ．

∴當(dāng) 時(shí)， ，即 恒成立．

②若 ，則 ，

∴當(dāng) 時(shí)， ，∴ 在 單調(diào)遞增，

而 ，∴當(dāng) 時(shí)， ，即 恒成立，

③若 ，則 ，

∴當(dāng) 時(shí)， 不可能恒成立．

綜上所述， 的取值范圍為

【解析】（1）根據(jù)題意f（0）=2，g（0）=2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f（0）=4，g（0）=4，從而可求得a，b，c，d的值；（2）構(gòu)造函數(shù) F（x）=kg（x）-f（x） ,若x≥－2時(shí)，恒有f(x)≤kg(x)，即證 x ≥ 2 時(shí)恒有 F ( x ) ≥ 0 ．先將函數(shù) F（x）=kg（x）-f（x）求導(dǎo),討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求其最值．使其最小值大于等于0即可.
【考點(diǎn)精析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．