函數(shù),數(shù)列
,滿足0<
<1,
,數(shù)列
滿足
,
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:0<<
<1;
(Ⅲ)若且
<
,則當(dāng)n≥2時(shí),求證:
>
(Ⅰ)函數(shù)的遞減區(qū)間(-1,0),遞增區(qū)間(0,+
);(Ⅱ)詳見(jiàn)解析;(Ⅲ)詳見(jiàn)解析.
解析試題分析:(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,首先確定定義域
,可通過(guò)單調(diào)性的定義,或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間,由于
,含有對(duì)數(shù)函數(shù),可通過(guò)求導(dǎo)來(lái)確定單調(diào)區(qū)間,對(duì)函數(shù)
求導(dǎo)得
,由此令
,
,解出
就能求出函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)求證:0<
<
<1,可先證0<
<1,
,再證數(shù)列
單調(diào)遞減,可先證0<
<1,若能求出通項(xiàng)公式,利用通項(xiàng)公式來(lái)證,由已知0<
<1,
,顯然無(wú)法求通項(xiàng)公式,可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證,結(jié)合函數(shù)
的單調(diào)性易證,證數(shù)列
單調(diào)遞減,可用作差比較法
<0證得,從而的結(jié)論;(Ⅲ)若
且
<
,則當(dāng)n≥2時(shí),求證:
>
,關(guān)鍵是求
的通項(xiàng)公式,由
,
,所以
,可得
,只要證明
>
,,即證
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/d/1m2bc2.png" style="vertical-align:middle;" />且
<
,則
,由此可得
,所以
,即證得.
試題解析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的遞減區(qū)間(-1,0),遞增區(qū)間(0,+
)
(Ⅱ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0<<1,
.
①當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立.②假設(shè)時(shí),0<
<1成立.則當(dāng)
時(shí)由(1)可得函數(shù)
在
上是增函數(shù),所以
<
<
=1-
<1,所以0<
<1,即n=k+1時(shí)命題成立,由①②可得0<
<1,
成立.
又<0,所以
<
成立.
所以0<<
<1
(Ⅲ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bb/2/r3ouj2.png" style="vertical-align:middle;" />,,所以
,
所以……①
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5e/0/0vcoa.png" style="vertical-align:middle;" />則,所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5d/d/1m2bc2.png" style="vertical-align:middle;" />,當(dāng)時(shí),
,
所以……②
由①②兩式可知
考點(diǎn):函數(shù)與導(dǎo)數(shù),函數(shù)單調(diào)性,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,其中
且
.
(Ⅰ)當(dāng),求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若時(shí),函數(shù)
有極值,求函數(shù)
圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo);
(Ⅲ)設(shè)函數(shù) (
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是否存在a使
在
上為減函數(shù),若存在,求實(shí)數(shù)a的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)若在
是增函數(shù),求
的取值范圍;
(2)已知,對(duì)于函數(shù)
圖象上任意不同兩點(diǎn)
,
,其中
,直線
的斜率為
,記
,若
求證:
.
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已知函數(shù)f(x)=alnx+(a≠0)在(0,
)內(nèi)有極值.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)若x1∈(0,),x2∈(2,+∞)且a∈[
,2]時(shí),求證:f(x2)﹣f(x1)≥ln2+
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本(萬(wàn)元),已知產(chǎn)品單價(jià)P(萬(wàn)元)與產(chǎn)品件數(shù)x滿足:
,生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元,產(chǎn)量定為多少件時(shí)總利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖象如圖,直線
在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切,且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為
.
(1)求的解析式;
(2)若常數(shù),求函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
且
的圖象在它們與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線互相平行.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)對(duì)于函數(shù)與
公共定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)
,我們把
的值稱為兩函數(shù)在
處的偏差,求證:函數(shù)
與
在其公共定義域內(nèi)的所有偏差都大于2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)函數(shù)自變量的取值區(qū)間與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值區(qū)間相同時(shí),這樣的區(qū)間稱為函數(shù)的保值區(qū)間.,試問(wèn)函數(shù)
在
上是否存在保值區(qū)間?若存在,請(qǐng)求出一個(gè)保值區(qū)間;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè).
(Ⅰ)若對(duì)一切
恒成立,求
的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè),且
是曲線
上任意兩點(diǎn),若對(duì)任意的
,直線AB的斜率恒大于常數(shù)
,求
的取值范圍;
(Ⅲ)求證:.
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