Question

6．已知底面為正方形的四棱錐P-ABCD內(nèi)接于半徑為1的球，頂點(diǎn)P在底面ABCD上的射影是ABCD的中心，當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，四棱錐的高為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，四棱錐的高為h，則由射影定理可得2a²=h（2-h），四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$×4a²h=$\frac{2}{3}$h²（2-h），變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，四棱錐的高為h，則由射影定理可得2a²=h（2-h），
四棱錐P-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$×4a²h=$\frac{2}{3}$h²（2-h）=$\frac{1}{3}hh（4-2h）$≤$\frac{1}{3}（\frac{h+h+4-2h}{3}）^{3}$=$\frac{64}{81}$，
當(dāng)且僅當(dāng)h=4-2h，即h=$\frac{4}{3}$時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積最大，
故選：$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的性質(zhì)、射影定理、四棱錐的體積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．