Question

對(duì)于非空實(shí)數(shù)集合A，記A^*={y|?x∈A，y≤x}，設(shè)非空實(shí)數(shù)集合P滿足條件“若x＜1，則x∉P”且M⊆P，給出下列命題：
①若全集為實(shí)數(shù)集R，對(duì)于任意非空實(shí)數(shù)集合A，必有∁_RA=A^*；
②對(duì)于任意給定符合題設(shè)條件的集合M，P，必有P^*⊆M^*；
③存在符合題設(shè)條件的集合M，P，使得M^*∩P=∅；
④存在符合題設(shè)條件的集合M，P，使得M∩P^*≠∅．
其中所有正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：由題意知，A^*中元素為不大于A中所有值的數(shù)的集合．由于四個(gè)命題對(duì)任意符合條件的集合都滿足，故可用特殊集合來(lái)驗(yàn)證．

解答： 解：由于非空實(shí)數(shù)集A，記A^*={y|?x∈A，y≤x}，則A^*中元素為不大于A中所有值的數(shù)，即不大于A中最小元素的集合．
①當(dāng)A集合下邊界趨向負(fù)無(wú)窮大時(shí)，A^*=∅，故①錯(cuò)誤；
②由于M⊆P，假設(shè)M中最大值為m，P最大值為p，那么p≥m．因此M^*表示大于m所有數(shù)集合，P^*表示所有大于p的數(shù)的集合．則P^*⊆M^*，故②正確；
③令M=P={xx|0＜x＜

1

2

}，則M^*={x|x≥

1

2

}，故M^*∩P=∅，故③正確；
④令M={xx|0＜x≤

1

2

}，P={x|0＜x＜

1

2

}，則P^*={x|x≥

1

2

}，故M∩P^*={x|x=

1

2

}≠∅，故④正確；
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，要對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，可以得到正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．