Question

18．已知O是△ABC的外心，且AB=5，AC=8，存在非零實(shí)數(shù)x，y使$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$且x+2y=1，則cos∠BAC=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 可作出圖形，并取AC的中點(diǎn)為D，連接OD，BD，從而有$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AD}$，而x+2y=1，從而得出O，D，B三點(diǎn)共線，這樣根據(jù)O為外心便可得出BD⊥AC，這樣在Rt△ABD中即可求出cos∠BAD，即求出cos∠BAC的值．

解答 解：如圖，設(shè)AC中點(diǎn)為D，則$\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$；

∴$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+2y\overrightarrow{AD}$；
∵x+2y=1；
∴O，D，B三點(diǎn)共線，連接BO；
∵O是△ABC的外心；
∴OD⊥AC；
∴BD⊥AC，且D為AC的中點(diǎn)；
∴在Rt△ABD中，AB=5，AD=4；
∴$cos∠BAC=cos∠BAD=\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查三角形外心的定義，三點(diǎn)A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OB}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OC}$，且x+y=1，向量數(shù)乘的幾何意義，以及三角函數(shù)的定義．