Question

6．已知0＜α＜$\frac{π}{2}＜β＜π，sin\frac{α}{2}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}，cos（β-α）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$
（1）求sinα的值；
（2）求角β的值．

Answer 1

分析 （′1）由已知先求出cos$\frac{α}{2}$，再根據(jù)二倍角公式sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$，即可求出sinα的值，
（2）由（1）題意求出cosα，和sin（β-α）的值，再根據(jù)cosβ=cos（β-α+α），計(jì)算即可得到cosβ的值，根據(jù)角的范圍，求出角的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，sin$\frac{α}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴0＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{π}{4}$，
∴cos$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1-si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinα=2sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$=2×$\frac{\sqrt{5}}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
（2）由（1）得cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{3}{5}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∵cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin（β-α）=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cosβ=cos（β-α+α）=cos（β-α）cosα-sin（β-α）sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴β=$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形函數(shù)的化簡和求值，關(guān)鍵的靈活利用公式，簡化計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．